Giới hạn của hàm số lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Giới hạn của hàm số lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Bài giảng: Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cô Nguyễn Yến (Giáo viên VietJack)

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho điểm x0 thuộc K và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K {x0}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K {x0} và xn → x0, thì f(xn) → L.

Kí hiệu: hay f(x) → L khi x → x0.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = x3−1x−1. Tìm limx→1fx .

Hướng dẫn giải

Hàm số y = f(x) xác định trên ℝ {1}.

Giả sử (xn) là dãy số bất kì thỏa mãn xn ≠ 1 với mọi n và xn → 1 khi n → +∞.

Vậy limx→1fx=3.

Nhận xét:

• limx→x0x=x0 ;

• limx→x0c=c (c là hằng số).

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Cho limx→x0f(x) = L và limx→x0g(x) = M. Khi đó:

• limx→x0[ f(x) + g(x)] = L + M

• limx→x0[ f(x) - g(x)] = L - M

• limx→x0[ f(x) . g(x)] = L . M

b) Nếu f(x) ≥ 0 và limx→x0f(x) = L thì L ≥ 0 và limx→x0f(x)=L

(Dấu của f (x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x ≠ x0).

Nhận xét:

• limx→x0xk=x0k , k là số nguyên dương;

• limx→x0[cf(x) = c limx→x0 f(x) ( c∈ℝ, nếu tồn tại limx→x0f(x) ∈ℝ) .

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) limx→−12x2+4x−5 ;

b) limx→22x+5−3x−2 .

Hướng dẫn giải

a) limx→−12x2+4x−5=limx→−12x2+limx→−14x−limx→−15

=2limx→−1x2+4limx→−1x−limx→−15=2 . −12+4 . −1−5=−7.

b) limx→22x+5−3x−2

=limx→222x+5+3

=22 . 2+5+3=13.

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b).

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, thì f(xn) → +∞.

Kí hiệu: limx→x0+f(x) = +∞ hay f(x) → +∞ khi x→x0+ .

• Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là −∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và x → x0, thì f(xn) → −∞..

Kí hiệu: limx→x0+f(x) = −∞ hay f(x) → -∞ khi x→x0+ .

Chú ý:

a) Các giới hạn limx→x0-f(x) = +∞, limx→x0- f(x) = -∞, limx→+∞f(x) = +∞, limx→+∞f(x) = -∞, limx→−∞f(x) = +∞,limx→−∞f(x) = -∞ được định nghĩa tương tự như trên.

b) Ta có các giới hạn thường dùng sau:

• limx→a+1x−a=+∞ và limx→a−1x−a=−∞ (a∈ℝ) ;

• limx→+∞xk=+∞ với k là nguyên dương;

• limx→−∞xk=+∞ nếu k là số nguyên dương chẵn;

• limx→−∞xk=−∞ nếu k là số nguyên dương lẻ.

c) Các phép toán trên giới hạn hàm số của Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.

Nếu limx→x0+f(x) = L≠0 và limx→x0+g(x) = +∞ (hoặc limx→x0+g(x) = -∞ ) thì limx→x0+[(f(x) . g(x)] được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay x0+ thành x0− (hoặc +∞, −∞).

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) limx→−3+2−3xx+3 ;

b) limx→−∞(x3+2).

Hướng dẫn giải

Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a) limx→24x−4−xx2−4 ;

b) limx→13x−23−x3x+1−2 .

Hướng dẫn giải

Bài 2. Tìm các giới hạn sau:

a) A = limx→+∞x(4x2+9−2x);

b) B = limx→−∞(x2−2x+2−x).

Hướng dẫn giải

=limx→−∞2+2−x1−2x+2x2−1=+∞

Bài 3. Chứng minh không tồn tại giới hạn của hàm số f(x) = sin1x khi x tiến tới 0.

Hướng dẫn giải

Xét hai dãy số xn=12nπ; yn=1π2+2nπ

Suy ra limxn=lim12nπ=12πlim1n=12π . 0=0

Và limyn=lim1π2+2nπ=1π2+2πlimn=0

Khi đó ta xét:

• lim f(xn) = limsin (2nπ) = 0;

• lim f (yn) = limsin (π2+2nπ) = 1.

Do lim f(xn) ≠ lim f (yn) (0 ≠ 1) nên hàm số f(x) = sin1x không tồn tại giới hạn khi x tiến tới 0.

Học tốt Giới hạn của hàm số

Các bài học để học tốt Giới hạn của hàm số Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 3

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)