Lý thuyết cực trị của hàm số

1. Định nghĩa

Cho hàm số (y = f(x)) liên tục trên khoảng ((a ; b)) và điểm (x_0 in (a ; b).)

- Nếu tồn tại số (h > 0) sao cho (f(x) < f(x_0), ∀x ∈ (x_0- h ; x_0+ h), x neq x_0) thì ta nói hàm số (f) đạt cực đại tại (x_0.)

- Nếu tồn tại số (h > 0) sao cho (f(x) > f(x_0), ∀x ∈ (x_0- h ; x_0+ h), x neq x_0) thì ta nói hàm số (f) đạt cực tiểu tại (x_0.)

Giả sử (y = fleft( x right)) có đạo hàm cấp 2 trong (left( {{x_0} - h;{x_0} + h} right)left( {h > 0} right)).

a) Nếu (left{ begin{array}{l}f'left( {{x_0}} right) = 0f''left( {{x_0}} right) > 0end{array} right.) thì ({x_0}) là một điểm cực tiểu của hàm số.

b) Nếu (left{ begin{array}{l}f'left( {{x_0}} right) = 0f''left( {{x_0}} right) < 0end{array} right.) thì ({x_0}) là một điểm cực đại của hàm số.

3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính (f'left( x right)), tìm các điểm tại đó (f'left( x right) = 0) hoặc không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính (f'left( x right)), giải phương trình (f'left( x right) = 0) và kí hiệu ({x_1},...,{x_n}) là các nghiệm của nó.

- Bước 3: Tính (f''left( x right)) và (f''left( {{x_i}} right)).

- Bước 4: Dựa và dấu của (f''left( {{x_i}} right)) suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm ({x_i}) mà (f''left( {{x_i}} right) > 0) thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm ({x_i}) mà (f''left( {{x_i}} right) < 0) thì đó là điểm cực đại của hàm số.