Cách giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương (cực hay)

Bài viết Cách giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Cách giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương (cực hay)

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

Lý thuyết & Phương pháp giải

- Phương trình tương đương: Hai phương trình f1(x) = g1(x) và f2(x) = g2(x) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

- Kí hiệu là f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x)

- Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.

- Phương trình hệ quả: f2(x) = g2(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f1(x) = g1(x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x)

- Kí hiệu là f1(x) = g1(x) ⇒ f2(x) = g2(x)

- Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng:

+ Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.

+ Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

+ Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

Bình phương hai vế của phương trình (hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện:

Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;2}

Bài 2: Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện:

Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*)

Nếu x ≠ 3. thì (*)

Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = 5/3

Thay x = 3 và x = 5/3 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S = {3}

Bài 3: Giải phương trình

Lời giải:

a. Điều kiện: x ≥ -1.

Ta có x = -1 là một nghiệm.

Nếu x > -1 thì √(x+1) > 0. Do đó phương trình tương đương

x2 - x - 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1, x = 2.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm S = {-1; 2}

b. ĐKXĐ: x > 2

Với điều kiện đó phương trình tương đương với phương trình

x2 = 1 - (x - 2)⇔ x2 + x - 3 = 0

Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 4: Giải phương trình

Lời giải:

a. Điều kiện: x ≠ 1.

Với điều kiện trên phương trình tương đương x2 - x + 1 = 2x - 1 ⇔ x = 1 hoặc x = 2

Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

b. ĐKXĐ :

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = -3

Bài 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương

x2 + mx - 1 = 0 (1) và (m-1)x2 + 2(m-2)x + m - 3 = 0 (2)

Lời giải:

Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

Ta có (m-1)x2 + 2(m-2)x + m - 3 = 0

⇔

Do hai phương trình tương đương nên x = -1 cũng là nghiệm của phương trình (1)

Thay x = -1 vào phương trình (1) ta được m = 0

Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Tìm tập xác định của phương trình
• Bài tập tìm tập xác định của phương trình
• Giải và biện luận phương trình bậc nhất
• Bài tập giải và biện luận phương trình bậc nhất

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều