Toán Việt

A. MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG LŨY THỪANhận xét: Để giải phương trình nghiệm nguyên dạng lũy thừa ta chú ý một số phương pháp thường sử dụng

• Sử dụng đồng dư để xét tính chẵn lẻ, hay modun của nghiệm.
• Phân tích thành thừa số.
• Đánh giá bất đẳng thức.

Do sử dụng nhiều đồng dư, do đó ta chú ý một số tính chất về đồng dư sau Tính chất 3.2. Cho $a$ là một số nguyên tùy ý. Khi đó(a) $a^2 equiv 0,1(bmod 3)$;(b) $a^2 equiv 0,1(bmod 4)$(c) $a^2 equiv 0,1,4 (bmod 8)$;(d) $a^2 equiv 0,1,4 (bmod 5)$;(e) $a^3 equiv-1,0,1 (bmod 7)$(f) $a^3 equiv-1,0,1(bmod 9)$.

Tính chất 3.3. Cho $p$ là một số nguyên tố và $a, b, c, n$ là các số nguyên dương. Ta có(a) $a^n vdots p Leftrightarrow a vdots p$;(b) Nếu $a b=p^n$ thì $left{begin{array}{l}a=p^k b=p^{n-k}end{array} quadright.$ với $k in mathbb{N}$ thỏa $0 leq k leq n$;(c) Nếu a b=c^n và (a, b)=1 thì $a=s^n text { và } b=r^n$ với $s, r in mathbb{N}$.

B MỘT SỐ VÍ DỤVí dụ 3.29. Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mān $x^3+1=4 y^2$.

Ví dụ 3.30. Giải phương trình nghiệm nguyên $x^5+2023 x=5^y+2$.

Ví dụ 3.31. Tìm các số nguyên $x$ và $y$ sao cho $3^x-y^3=1$.

Ví dụ 3.32. Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ sao cho$$9^x-7^x=2^y .$$

Ví dụ 3.33. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho luôn tồn tại các số nguyên dương $n, x, y$ thỏa mãn$$p^n=x^3+y^3 .$$

Ví dụ 3.34. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình$$left(2^x+1right)left(2^x+2right)left(2^x+3right)left(2^x+4right)-5^y=11879 .$$

Ví dụ 3.35. Cho $M=a^2+3 a+1$ với $a$ là số nguyên dương.(a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.(b) Tìm các giá trị của $a$ để $M$ là lũy thừa của 5 .

Ví dụ 3.37. Cho phương trình $2^x+5^y=k^2$ ( $x, y, k$ là các số nguyên dương).(a) Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm khi $y$ chẵn.(b) Tìm $k$ để phương trình có nghiệm.(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán PTNK 2022)

Ví dụ 3.38. Cho $k$ là số nguyên dương và $a=3 k^2+3 k+1$.(a) Chứng minh rằng $2 a$ và $a^2$ là tổng của ba số chính phương.(b) Chứng minh rằng nếu $a$ là uớc của số nguyên $b$ và $b$ bằng tổng của ba số chính phương thì bất kì lũy thừa với số mũ nguyên dương nào của $b$ cũng là tổng của ba số chính phương.

C. CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 3.13. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình$$x^3+x^2+x+1=2011^y .$$

Bài 3.14. Tìm tập nghiệm nguyên dương của phương trình$$8^x+15^y=17^z .$$

Bài 3.15. Tìm các số nguyên dương $x, y, z>1$ thỏa mãn$$(x+1)^y-x^z=1 .$$

Bài 3.16. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình $5^x-3^y=2$.

Bài 3.17. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình$$2^x cdot 3^y+5^z=7^t .$$

Bài 3.18. Cho các số nguyên dương $m, n geq 2$. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình$$x^n+y^n=3^m .$$

Bài 3.19. Cho $p$ là một số nguyên tố và $a, n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $2^p+3^p=$ $a^n$ thì $n=1$.

Bài 3.20. Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp không thể là lũy thừa với số mũ lớn hơn 1 của một số nguyên.

Bài 3.21. Cho phương trình $3 x^2-y^2=23^n$ với $n$ là số tự nhiên.(a) Chứng minh nếu $n$ chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên $(x, y)$.(b) Chứng minh nếu $n$ lẻ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên $(x, y)$.

Bài 3.22.(a) Cho $m$ là số nguyên. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $a, b, c$ khác 0 sao cho $a+b+c=0$ và $a b+b c+c a+4 m=0$ thì cũng tồn tại các số nguyên $a^{prime}, b^{prime}, c^{prime}$ sao cho $a^{prime}+b^{prime}+c^{prime}=0$ và $a^{prime} b^{prime}+b^{prime} c^{prime}+a^{prime} c^{prime}+m=0$.(b) Với $k$ là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $a, b, c$ khác 0 sao cho $a+b+c=0$ và $a b+b c+c a+2^k=0$.(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán PTNK 2015)