Cách giải bài toán tìm GTLN GTNN lớp 9

I. Định nghĩa GTLN, GTNN

Cho hàm số y = f(x).

Kí hiệu tập xác định của hàm số f(x) là D.

Giá trị lớn nhất: m được gọi là giá trị lớn nhất của f(x) nếu:

f(x) ≤ m với mọi x ∈ D

Kí hiệu: m = maxf(x) x ∈ D hoặc giá trị lớn nhất của y = m.

Giá trị nhỏ nhất: M được gọi là giá trị nhỏ nhất nếu:

f(x) ≥ m với mọi x ∈ D

Kí hiệu: m = minf(x) x∈ D hoặc giá trị nhỏ nhất của y = M.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai.

Cho biểu thức:

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.

Bất đẳng thức Cô si (Cauchy): Với hai số thực không âm x, y, z, t, ta có:

Với mọi số thức không âm x1, x2,…, xn, ta có:

Đại lượng x1 + x2+…+xn được gọi là trung bình cộng của các số x1, x2,…, xn

Đại lượng x1.x2….xn được gọi là trung bình cộng của các số x1, x2,…, xn

III. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

1. Biến đổi biểu thức

- Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một số không âm với hằng số.

- Bước 2: Thực hiện tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Cho hai số a, b không âm ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

3. Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

|a| + |b| ≥ |a + b|

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tích a, b ≥ 0

IV. Ví dụ bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa căn

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của E bằng 1 khi x = 0

b. Điều kiện xác định

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy GTLN của D bằng 3/2 khi x = 0

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải:

Ví dụ 4: Cho biểu thức

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9√x

Lời giải:

Ví dụ 5:

a, Rút gọn A

b, Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải:

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn:

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 4, đạt được khi x = 1

Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Hướng dẫn:

Dấu bằng xảy ra khi 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3.

Vậy giá trị lớn nhất của A là √8, đạt được khi x = 1/3.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Lời giải:

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

Lời giải: