Sự biến thiên của hàm số

1. Lý thuyết

Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng (a;b).

+ Định nghĩa:

Hàm số (y = f(x)) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu

(forall {x_1},{x_2} in (a;b),{x_1} < {x_2} Rightarrow f({x_1}) < f({x_2}))

Hàm số (y = f(x)) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu

(forall {x_1},{x_2} in (a;b),{x_1} < {x_2} Rightarrow f({x_1}) > f({x_2}))

Xét sự biến thiên của hàm số là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.

+ Mô tả sự biến thiên bằng bảng biến thiên

Kết quả xét sự biến thiên được tổng kết trong một bảng biến thiên. Trong đó:

Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng tương ứng.

Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.

+ Mô tả sự biến thiên bằng đồ thị

Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi lên” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi xuống” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.

+ Hàm số bậc nhất (y = ax + b) đồng biến trên (mathbb{R}) nếu (a > 0), nghịch biến trên (mathbb{R}) nếu (a < 0).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh hàm số (y = 2{x^2})đồng biến trên khoảng ((0; + infty ))

Xét hai số bất kì ({x_1},{x_2} in (0; + infty )) sao cho ({x_1} < {x_2}).

Ta có: (0 < {x_1} < {x_2}) nên (2{x_1}^2 < 2{x_2}^2) hay (f({x_1}) < f({x_2}))

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ((0; + infty ))

Ví dụ 2. Cho bảng biến thiên của hàm số (y = 2{x^2} + 1)

• Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (( - infty ;0))
• Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng ((0; + infty ))

Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số (y = f(x))

Hàm số (y = f(x)) đồng biến trên khoảng (2;5)

Hàm số (y = f(x)) nghịch biến trên khoảng (-4;2)