POL

Chủ nhật - 11/01/2026 10:59

3. Trường vector và trường vô hướng:

3.1 Trường vector và trường vô hướng (Vector field & Scalar field)

Trường vector Trường vô hướng Mỗi điểm trong không gian gắn với 1 vector Mỗi điểm trong không gian gắn với một số vô hướng $vec{F}(M) = P(M)vec{i}+Q(M)vec{j}+R(M)vec{j}$ $f(M)$ - ví dụ:+ vân tốc dòng nước chảy trong chất lỏng+ điện trường+ lực hấp dẫn - ví dụ:+ phân bố áp suất trong chất lỏng+ điện thế+ thế năng hấp dẫn

3.2 Gradient - Rota (Curl) - Divergence:

Về mặt hình thức, ta có thể định nghĩa “Vector” Nabla (Del): $vec{nabla}=vec{i}frac{partial}{partial x}+vec{j}frac{partial}{partial y}+vec{k}frac{partial}{partial z}$ (trong hệ tọa độ Descartes).

Gradient Rota Divergence grad rot div tác động lên 1 trường vô hướng tác động lên 1 trường vector tác động lên 1 trường vector sinh ra 1 trường vector sinh ra 1 trường vector sinh ra 1 trường vô hướng Xác định tốc độ và hướng sự biến thiên của trường vô hướng Xác định độ quay của một vector tại một điểm trong trường (liên quan đến độ đổi hướng) Xác định tốc độ biến thiên về độ lớn của vector trong trường $vec{grad}f=vec{nabla}f$ $rotvec{F}=vec{nabla}timesvec{F}$ $divvec{F}=vec{nabla}vec{F}$ nhân “Nabla” với vô hướng nhân hữu hướng “Nabla” với vector nhân vô hướng “Nabla” với vector $vec{grad}(lambda_{1}f+lambda_{2}g)=lambda_{1}vec{grad}f+lambda_{2}vec{grad}g$ $rot(lambda_{1}vec{F}+lambda_{2}vec{G})=lambda_{1}rotvec{F}+lambda_{2}rotvec{G}$ $div(lambda_{1}vec{F}+lambda_{2}vec{G})=lambda_{1}divvec{F}+lambda_{2}divvec{G}$ $vec{grad}(fg)=f.vec{grad}g+g.vec{grad}f$

3.3 Laplacian của một hàm số:

Giả sử ta có hàm số $f = f(x)$ , Laplacian của một hàm số được định nghĩa là: $Delta f=nabla^2 f=div(vec{grad}f)$

Trong hệ tọa độ Descartes thì $Delta =(vec{i}frac{partial}{partial x}+vec{j}frac{partial}{partial y}+vec{k}frac{partial}{partial z}).(vec{i}frac{partial}{partial x}+vec{j}frac{partial}{partial y}+vec{k}frac{partial}{partial z})$ .

Do đó, ta có: $Delta =frac{partial^2}{partial x^2}+frac{partial^2}{partial y^2}+frac{partial^2}{partial z^2}$ .

Ta có một số tính chất của Laplacian:

1. $Delta (lambda_{1}.f+lambda_{2}.g)=lambda_{1}Delta f+lambda_{2}Delta g$

2. $Delta (f.g)=f.Delta g+2nabla f.nabla g+g.Delta f$

3.4 Một số tính chất của Gradient - Rota - Divergence và Laplacian:

$div(vec{F}timesvec{G}=vec{G}.rotvec{F}-vec{F}.rotvec{G}$ .

$div(vec{grad}f) = Delta f$ .

$rot(vec{grad}f)=0$ .

$div(rotvec{F})=0$ .

$rot(rotvec{F})=vec{nabla}(vec{nabla}.vec{F})-vec{nabla}^2vec{F}$ .

Ngoài ra còn nhiều hệ thức khác với lưu ý là xem “nabla” như một vector.

3.5 Vector Nabla - Gradient - Rota (Curl) - Divergence - Laplacian trong các hệ tọa độ:

3.5.1 Hệ tọa độ Descartes:

Vector Nabla trong tọa độ Descartes:

$vec{nabla}=vec{i}frac{partial}{partial x}+vec{j}frac{partial}{partial y}+vec{k}frac{partial}{partial z}$

Đạo hàm của các vector đơn vị:

$frac{partial vec{i}}{partial x}=0,frac{partial vec{i}}{partial y}=0,frac{partial vec{i}}{partial z}=0frac{partial vec{j}}{partial x}=0,frac{partial vec{j}}{partial y}=0,frac{partial vec{j}}{partial z}=0frac{partial vec{k}}{partial x}=0,frac{partial vec{k}}{partial y}=0,frac{partial vec{k}}{partial z}=0$

Gradient trong tọa độ Descartes:

$vec{grad}f=vec{nabla}f=vec{i}frac{partial f}{partial x}+vec{j}frac{partial f}{partial y}+vec{k}frac{partial f}{partial z}$ .

Rota trong tọa độ Descartes:

$rotvec{F}=vec{nabla}timesvec{F}=vec{i}(frac{partial F_{z}}{partial y}-frac{partial F_{y}}{partial z})+vec{j}(frac{partial F_{x}}{partial z}-frac{partial F_{z}}{partial x})+vec{k}(frac{partial F_{y}}{partial x}-frac{partial F_{x}}{partial y})$

Divergence trong tọa độ Descartes:

$divvec{F}=vec{nabla}.vec{F}=frac{partial F_{x}}{partial x}+frac{partial F_{y}}{partial y}+frac{partial F_{z}}{partial z}$

Laplacian trong tọa độ Descartes:

$Delta=frac{partial^2}{partial x^2}+frac{partial^2}{partial y^2}+frac{partial^2}{partial z^2}$ .

Tham khảo thêm ở: http://mathworld.wolfram.com/CartesianCoordinates.html

3.5.2 Hệ tọa độ trụ:

Trong hệ tọa độ trụ $(r,theta,z)$ , ta có:

Quan hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes:

$left{begin{matrix}x = rcos theta y = rsin theta z = zend{matrix}right.$ .

Từ đây ta rút ra quan hệ giữa các đạo hàm riêng như sau:

$frac{partial}{partial r}=cos theta frac{partial}{partial x}+sin theta frac{partial}{partial y}$ .

$frac{1}{r}frac{partial}{partial theta}=-sin theta frac{partial}{partial x}+cos theta frac{partial}{partial y}$ .

$frac{partial}{partial z}=frac{partial}{partial z}$ .

hay từ tọa độ Descartes, biểu diễn theo tọa độ trụ:

$frac{partial}{partial x}=cos thetafrac{partial}{partial r}-sin thetafrac{1}{r}frac{partial}{partial theta}$ .

$frac{partial}{partial y}=sin thetafrac{partial}{partial r}+cos thetafrac{1}{r}frac{partial}{partial theta}$ .

$frac{partial}{partial z}=frac{partial}{partial z}$ .

Các vector đơn vị của hệ tọa độ trụ:

$vec{{e}_{r}}=cos theta vec{i}+sin theta vec{j}vec{{e}_{theta }}= - sin theta vec{i}+cos theta vec{j}vec{{e}_{z}}=vec{k}$

Từ đó ta biểu diễn các vector đơn vị của tọa độ Descartes như sau:

$vec{i}=cos theta vec{{e}_{r}}-sin theta vec{{e}_{theta }}vec{j}=sin theta vec{{e}_{r}}+cos theta vec{{e}_{theta }}vec{k}=vec{{e}_{z}}$ .

Vector Nabla trong tọa độ trụ:

Từ $vec{nabla}=vec{i}frac{partial}{partial x}+vec{j}frac{partial}{partial y}+vec{k}frac{partial}{partial z}$ , ta thay các biểu thức vector đơn vị và đạo hàm riêng tìm được ở trên vào, ta có được:

$vec{nabla}=vec{{e}_{r}}frac{partial}{partial r}+vec{{e}_{theta }}frac{1}{r}frac{partial}{partial theta }+vec{{e}_{z}}frac{partial}{partial z}$

Đạo hàm của các vector đơn vị:

$frac{partial vec{e_{r}}}{partial r}=0,frac{partial vec{e_{r}}}{partial theta }=vec{e_{theta }},frac{partial vec{e_{r}}}{partial z}=0frac{partial vec{e_{theta }}}{partial r}=0,frac{partial vec{e_{theta }}}{partial theta }=-vec{e_{r}},frac{partial vec{e_{theta }}}{partial z}=0frac{partial vec{e_{z}}}{partial r}=0,frac{partial vec{e_{z}}}{partial theta }=0,frac{partial vec{e_{z}}}{partial z}=0$

Gradient trong tọa độ trụ:

$vec{grad}f=vec{nabla}f=vec{{e}_{r}}frac{partial f}{partial r}+vec{{e}_{theta }}frac{1}{r}frac{partial f}{partial theta }+vec{{e}_{z}}frac{partial f}{partial z}$

Rota trong tọa độ trụ:

$rotvec{F}=vec{nabla}timesvec{F}=vec{e_{r}}(frac{1}{r}frac{partial F_{z}}{partial theta }-frac{partial F_{theta }}{partial z})+vec{e_{theta }}(frac{partial F_{r}}{partial z}-frac{partial F_{z}}{partial r})+vec{e_{z}}frac{1}{r}(frac{partial (rF_{theta})}{partial r}-frac{partial F_{r}}{partial theta})$

Divergence trong tọa độ trụ:

$divvec{F}=vec{nabla}.vec{F}=frac{1}{r}frac{partial (rF_{r})}{partial r}+frac{1}{r}frac{partial F_{theta }}{partial theta }+frac{partial F_{z}}{partial z}$

Laplacian trong tọa độ trụ:

$Delta=frac{1}{r}frac{partial}{partial r}(rfrac{partial}{partial r})+frac{1}{r^2}frac{partial^2}{partial theta ^2}+frac{partial^2}{partial z^2}$ .

Tham khảo thêm ở: http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html

3.5.3 Hệ tọa độ cầu:

Trong hệ tọa độ cầu $(r,theta,varphi)$ , tương tự ở trên, ta có các kết quả sau:

Vector Nabla trong tọa độ cầu:

$vec{nabla}=vec{{e}_{r}}frac{partial}{partial r}+vec{{e}_{theta }}frac{1}{r}frac{partial}{partial theta }+vec{{e}_{varphi }}frac{1}{rsin theta}frac{partial}{partial varphi}$

Đạo hàm của các vector đơn vị:

$frac{partial vec{e_{r}}}{partial r}=0,frac{partial vec{e_{r}}}{partial theta }=vec{e_{theta }},frac{partial vec{e_{r}}}{partial varphi }=sin thetavec{e_{varphi }}frac{partial vec{e_{theta }}}{partial r}=0,frac{partial vec{e_{theta }}}{partial theta }=-vec{e_{r}},frac{partial vec{e_{theta }}}{partial varphi }=cos thetavec{e_{varphi }}frac{partial vec{e_{varphi }}}{partial r}=0,frac{partial vec{e_{varphi }}}{partial theta }=0,frac{partial vec{e_{varphi }}}{partial varphi }=-cos thetavec{e_{theta }}-sin thetavec{e_{r}}$

Gradient trong tọa độ cầu:

$vec{grad}f=vec{nabla}f=vec{{e}_{r}}frac{partial f}{partial r}+vec{{e}_{theta }}frac{1}{r}frac{partial f}{partial theta }+vec{{e}_{varphi }}frac{1}{rsin theta}frac{partial f}{partial varphi}$

Rota trong tọa độ cầu:

$rotvec{F}=vec{nabla}timesvec{F}=vec{e_{r}}frac{1}{rsin theta}(frac{partial (sin theta F_{varphi })}{partial theta }-frac{partial F_{theta }}{partial varphi })+vec{e_{theta }}frac{1}{r}(frac{1}{sin theta }frac{partial F_{r}}{partial varphi }-frac{partial (rF_{varphi })}{partial r})+vec{e_{varphi }}frac{1}{r}(frac{partial (rF_{theta})}{partial r}-frac{partial F_{r}}{partial theta})$

Divergence trong tọa độ cầu:

$divvec{F}=vec{nabla}.vec{F}=frac{1}{r^2}frac{partial (r^2F_{r})}{partial r}+frac{1}{rsin theta}frac{partial (sin theta F_{theta })}{partial theta }+frac{1}{rsin theta}frac{partial F_{varphi }}{partial varphi }$

Laplacian trong tọa độ cầu:

$Delta=frac{1}{r^2}frac{partial}{partial r}(r^2frac{partial}{partial r})+frac{1}{r^2sin theta}frac{partial}{partial theta }(sin thetafrac{partial}{partial theta})+frac{1}{r^2sin ^2theta}frac{partial^2}{partial varphi^2}$ .

Tham khảo thêm ở:

http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

Khánh

Mình là Khánh, người sáng lập nghengu.vn – nơi chia sẻ niềm yêu thích với tiếng Nghệ, tiếng Việt và những phương ngữ đa dạng. Mình mong muốn lan toả vẻ đẹp của tiếng mẹ đẻ đến nhiều người hơn. Nếu thấy nội dung hữu ích, bạn có thể ủng hộ bằng cách donate hoặc mua sản phẩm giáo dục qua các liên kết tiếp thị trong bài viết.

Cảm ơn bạn đã đồng hành!