Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 4 Chân trời sáng tạo

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Chương 4.

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 4 Chân trời sáng tạo

(199k) Xem Khóa học Toán 9 CTST

Tóm tắt lý thuyết Chương 4

1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng α. Ta gọi AC là cạnh đối của góc α, AB là cạnh kề của góc α.

Xét tam giác ABC vuông tại A có ABC^=α, ta có:

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu sin α.

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu cos α.

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu tan α.

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu cot α.

Chú ý: Với góc nhọn α, ta có:

• 0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1.

• cotα=1tanα.

• Ta có bảng tỉ số lượng giác của các góc 30°, 45°, 60° như sau:

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

• Hai góc được gọi là phụ nhau nếu chúng có tổng bằng 90°. Như vậy, góc phụ của góc nhọn α là góc (90° − α).

• Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Chú ý: Khi viết các tỉ số lượng giác của một góc nhọn trong tam giác, ta có thể viết sin A thay cho sinA^.

3. Hệ thức giữa cạnh huyền và góc của tam giác vuông

Định lý: Trong một tam giác vuông:

• Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

• Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

• Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

b=a.sinB=a.cosC;c=a.sinC=a.cosB;

b=c.tanB=c.cotC;c=b.tanC=b.cotB.

4. Giải tam giác vuông

Giải một tam giác vuông là tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác đó.

Bài tập ôn tập Chương 4

Bài 1. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

A. sinα+cosα=1;

B. sin2α+cos2α=1;

C. sin3α+cos3α=1;

D. sinα−cosα=1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cho α là góc nhọn bất kỳ, khi đó sin2α+cos2α=1.

Bài 2. Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

A. tanα=sinαcosα;

B. cotα=cosαsinα;

C. tanα.cotα=1;

D. tan2α−1=cos2α.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho α là góc nhọn bất kỳ, khi đó:

• sin2α+cos2α=1;tanα.cotα=1.

• tanα=sinαcosα;cotα=cosαsinα.

• 1+tan2α=1cos2α;1+cot2α=1sin2α.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, B^=30°. Độ dài hai cạnh còn lại là:

A. AC=533 cm; BC=1033 cm;

B. AC=1033 cm; BC=533 cm;

C. AC=53 cm; BC=103 cm;

D. AC=103 cm; BC=53 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: tanB=ACAB nên AC=AB.tanB=5.tan30°=533 cm.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC2=AB2+AC2=52+5332=1003.

Suy ra BC=1003=1033 cm.

Bài 4. Cho tam giác DEF có E^=60°,F^=42°, đường cao DS = 12 cm (như hình vẽ)

Độ dài của cạnh EF của tam giác DEF (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) bằng

A. 25,6 cm;

B. 19,8 cm;

C. 20,2 cm;

D. 18,6 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác DEF có DS là đường cao, ta có: DSE^=DSF^=90°.

Suy ra tam giác DES vuông tại S và tam giác DFS vuông tại S.

Xét tam giác DES vuông tại S, ta có:

tanE=DSES nên ES=DStanE=12tan60°=123=43≈6,9 cm.

Xét tam giác DES vuông tại S, ta có:

tanF=DSFS nên FS=DStanF=12tan42°≈13,3 cm.

Mà EF = ES + FS = 6,9 + 13,3 = 20,2 cm.

Vậy độ dài cạnh EF là 20,2 cm.

Bài 5.Giải các tam giác vuông sau. Làm tròn kết quả độ dài đến hàng đơn vị và số đo góc đến độ.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

sinC=ABBC=512 suy ra C^≈25°,B^≈90°−25°=65°.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AC=BC2−AB2=122−52=144−25=119≈11.

Vậy A^=90° ;  B^≈65° ;  C^≈25°,AC≈11.

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

B^=90°−35°=55°,AC=AB.cotC=9.cot35°≈13.

sinC=ABBC nên BC=ABsinC=9sin35°≈16.

Vậy A^=90° ;  B^=55° ;  AC≈13 ,  BC≈16.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác của góc B trong mỗi trường hợp sau:

a) BC = 12 cm; AB = 8 cm;

b) AB=a2;AC=22a.

Hướng dẫn giải

a) Theo định lí Pythagore, ta có: BC2 = AB2 + AC2

Suy ra AC2 = BC2 - AB2 = 122 - 82 = 80.

Do đó AC=45 cm.

Các tỉ số lượng giác của góc B là:

• sinB=ACBC=4512=53;cosB=ABBC=812=23.

• tanB=ACAB=458=52;cotB=ABAC=25=255.

Vậy sinB=53;  cosB=23;  tanB=52;  cotB=255.

b) Theo định lí Pythagore, ta có: BC2 = AB2 + AC2

=a22+22a2=2a2+8a2=10a2

Suy ra BC=a10.

Các tỉ số lượng giác của góc B là:

• sinB=ACBC=22aa10=25a5;cosB=ABBC=a2a10=55.

• tanB=ACAB=22aa2=2;cotB=1tanB=12.

Vậy sinB=25a5 ;  cosB=55;  tanB=2 ;  cotB=12.

Bài 7. Rút gọn và tính các biểu thức sau:

a) A=sin15°−sin60°+cos30°−cos75°+5;

b) B=sin282°+cot24°.cot66°+cos282°.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: A=sin15°−sin60°+cos30°−cos75°+5

=sin15°−cos75°+cos30°−sin60°+5

=cos75°−cos75°+cos30°−cos30°+5

= 0 + 0 + 5 = 5.

b) Ta có: B=sin282°+cot24°.cot66°+cos282°

=sin282°+cos282°+cot24°.cot66°

=1+tan66°.cot66°

= 1 + 1 = 2.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10 cm, cosA=12. Tính sinA và độ dài cạnh AB và BC.

Hướng dẫn giải

Ta có: sin2A+cos2A=1 suy ra sin2A=1−cos2A.

Do đó sinA=1−cos2A.

• Thay cosA=12, ta có: sinA=1−122=32 (do sin A > 0 vì góc A nhọn).

Ta lại có: cosA=ABAC suy ra AB = AC.cos A.

• Thay cosA=12, AC = 10 cm, ta có: AB=10⋅12=5 (cm).

Mà sinA=BCAC suy ra BC = AC.sin A.

• Thay sinA=32, AC = 10 cm, ta có: BC=10⋅32=53 (cm)

Vậy sinA=32,AB = 5 cm, BC=53 cm

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và góc B = α. Tìm giá trị α sao cho BH = 3CH.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Đặt AH = h.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = AH.cot B = h.cot α.

Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:

CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan α.

BH = 3CH suy ra BHCH=h.cotαh.tanα=1tanαtanα=1tan2α=3

Do đó tanα=33=tan30°.

Vậy α = 30°.

Bài 10. Một cầu trượt ở công viên có độ dốc là 28° và độ cao là 1,8 m. Tìm độ dài của mặt cầu trượt.

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ABC vuông tại A.

Khi đó, độ dài mặt cầu trượt là:

AB=1,8sin28°≈3,83 (m).

Vậy độ dài của mặt cầu trượt khoảng 3,83 m.

Học tốt Chương 4

Các bài học để học tốt Chương 4 Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài tập cuối chương 4

(199k) Xem Khóa học Toán 9 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Tiếp tuyến của đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Góc ở tâm, góc nội tiếp

• Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án