Xem tài liệu

Trích đoạn: Bài giảng Vô cùng lớn và Vô cùng bé

Vô cùng bé

Hàm số $fleft( x right)$ được gọi là một vô cùng bé khi [xto a] nếu $underset{xto a}{mathop{lim }},fleft( x right)=0.$

Ví dụ: Các hàm số $sin x,tan x,{{x}^{alpha }},left( alpha >0 right)$ là các vô cùng bé khi $xto 0.$

So sánh các vô cùng bé

Giả sử $fleft( x right),gleft( x right)$ là các vô cùng bé khi $xto a$ và tồn tại giới hạn $underset{xto a}{mathop{lim }},dfrac{fleft( x right)}{gleft( x right)}=k.$ Khi đó:

+ Nếu $k=infty $ thì $fleft( x right)$ được gọi là vô cùng bé bậc thấp hơn (nhỏ hơn) vô cùng bé $gleft( x right).$

+ Nếu $k=0$ thì $fleft( x right)$ được gọi là vô cùng bé bậc cao hơn (lớn hơn) vô cùng bé $gleft( x right)$ và viết $fleft( x right)=oleft[ gleft( x right) right].$

+ Nếu $knotin left{ 0,infty right}$ thì $fleft( x right),gleft( x right)$ được gọi là các vô cùng bé cùng bậc.

Đặc biệt, nếu $k=1$ thì $fleft( x right),gleft( x right)$ được gọi là các vô cùng bé tương đương và viết $fleft( x right)sim gleft( x right)$ khi $xto a.$

Các cặp vô cùng bé tương đương hay sử dụng

(1) $sin usim u$ khi $uto 0$

(2) ${{sin }^{m}}usim {{u}^{m}}$ khi $uto 0$

(3) $tan usim u$ khi $uto 0$

(4) $1-cos usim dfrac{1}{2}{{u}^{2}}$ khi $uto 0$

(5) $ln left( 1+u right)sim u$ khi $uto 0$

(6) ${{e}^{u}}-1sim u$ khi $uto 0$

(7) ${{a}^{u}}-1sim uln a$ khi $uto 0$

(8) ${{left( 1+u right)}^{alpha }}-1sim alpha u,forall alpha ne 0$ khi $uto 0$

(9) $arcsin usim u$ khi $uto 0$

(10) $arctan usim u$ khi $uto 0$

Quy tắc ngắt thay thế vô cùng bé tương đương và ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao

Định lý: $underset{xto a}{mathop{lim }},f(x)=LLeftrightarrow f(x)=L+alpha (x)$ trong đó $alpha (x)$ là một VCB khi $xto a.$

Định lý: Ta có $f(x)sim g(x)Leftrightarrow f(x)=g(x)+oleft( g(x) right).$

Chứng minh. Ta có $f(x)sim g(x)Leftrightarrow underset{xto a}{mathop{lim }},dfrac{f(x)}{g(x)}=1Leftrightarrow dfrac{f(x)}{g(x)}=1+alpha (x)$ trong đó $alpha (x)$ là một VCB khi $xto a.$

Do đó [f(x)=g(x)+g(x).alpha (x)=g(x)+oleft( g(x) right)] vì [underset{xto a}{mathop{lim }},dfrac{g(x).alpha (x)}{g(x)}=underset{xto a}{mathop{lim }},alpha (x)=0Rightarrow g(x).alpha (x)=oleft( g(x) right).]

Định lý: Nếu ${{f}_{k}}(x),k=1,2,...,n$ là các VCB khi $xto a;$ trong đó ${{f}_{1}}(x)$ là VCB bậc thấp nhất thì $sumlimits_{k=1}^{n}{{{f}_{k}}(x)}sim {{f}_{1}}(x)$ khi $xto a.$

Áp dụng cho trường hợp hay gặp: $a{{x}^{k}}+{{a}_{1}}{{x}^{k+1}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{k+n}}sim a{{x}^{k}}left( forall k>0,ane 0 right).$

Định lý: Nếu ${{f}_{k}}(x),k=1,2,...,n$ là các VCB khi $xto a;$ trong đó ${{f}_{k}}(x)sim {{g}_{k}}(x),k=1,2,...,n$ và $sumlimits_{k=1}^{n}{{{g}_{k}}(x)}ne 0$ khi đó [sumlimits_{k = 1}^n {{f_k}(x)} sim sumlimits_{k = 1}^n {{g_k}(x)} ;prodlimits_{k = 1}^n {{f_k}(x)} sim prodlimits_{k = 1}^n {{g_k}(x)} .]

Chứng minh rằng $intlimits_{0}^{{{x}^{2}}}{{{left( 1+7{{sin }^{2}}t right)}^{frac{1}{t}}}dt}$ và ${{sin }^{2}}x$ là hai vô cùng bé tương đương khi $xto 0.$

Xét giới hạn:

[begin{gathered} mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{intlimits_0^{{x^2}} {{{left( {1 + 7{{sin }^2}t} right)}^{frac{1}{t}}}dt} }}{{{{sin }^2}x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{2x{{left( {1 + 7{{sin }^2}{x^2}} right)}^{frac{1}{{{x^2}}}}}}}{{2sin xcos x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{2x}}{{sin 2x}}.{left( {1 + 7{{sin }^2}{x^2}} right)^{frac{1}{{{x^2}}}}} = mathop {lim }limits_{x to 0} {left( {1 + 7{{sin }^2}{x^2}} right)^{frac{1}{{{x^2}}}}} = {e^{mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ln left( {1 + 7{{sin }^2}{x^2}} right)}}{{{x^2}}}}} = {e^{7mathop {lim }limits_{x to 0} {x^2}.frac{{ln left( {1 + 7{{sin }^2}{x^2}} right)}}{{7{{sin }^2}{x^2}}}.{{left( {frac{{sin {x^2}}}{{{x^2}}}} right)}^2}}} = {e^0} = 1. end{gathered} ]

Vậy $intlimits_{0}^{{{x}^{2}}}{{{left( 1+7{{sin }^{2}}t right)}^{frac{1}{t}}}dt}$ và ${{sin }^{2}}x$ là hai vô cùng bé tương đương khi $xto 0.$

Tính giới hạn $underset{xto 0}{mathop{lim }},dfrac{ln left( 1+4sin x right)}{{{3}^{x}}-1}$ bằng cách thay vô cùng bé tương đương.

Có $x to 0 Rightarrow left{ begin{gathered} ln left( {1 + 4sin x} right) sim 4sin x sim 4x hfill {3^x} - 1 sim xln 3 hfill end{gathered} right. Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{ln left( {1 + 4sin x} right)}}{{{3^x} - 1}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{4x}}{{xln 3}} = frac{4}{{ln 3}}.$

Tính giới hạn $underset{xto 0}{mathop{lim }},dfrac{sin 5x+2arctan 2x+3{{x}^{2}}}{ln left( 1+5x+{{sin }^{2}}3x right)+2x{{e}^{x}}}$ bằng cách thay vô cùng bé tương đương.

Có [x to 0 Rightarrow left{ begin{gathered} sin 5x + 2arctan 2x + 3{x^2} sim 5x + 2.2x = 9x hfill ln left( {1 + 5x + {{sin }^2}3x} right) + 2x{e^x} = ln left( {1 + 5x + {{sin }^2}3x} right) + 2x({e^x} - 1) + 2x sim 5x + 2x = 7x hfill end{gathered} right..]

Do đó [underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sin 5x+2arctan 2x+3{{x}^{2}}}{ln left( 1+5x+{{sin }^{2}}3x right)+2x{{e}^{x}}}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{9x}{7x}=frac{9}{7}.]

Tính giới hạn $underset{xto 0}{mathop{lim }},dfrac{xln left( 1+2x right)}{3{{x}^{2}}-4{{sin }^{3}}x}$ bằng cách thay vô cùng bé tương đương.

Có $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{xln left( 1+2x right)}{3{{x}^{2}}-4{{sin }^{3}}x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{x.2x}{3{{x}^{2}}}=frac{2}{3}.$

Tính giới hạn $underset{xto 0}{mathop{lim }},{{left( 1+2x right)}^{dfrac{1}{sqrt{1+4x}-1}}}$ bằng cách thay vô cùng bé tương đương.

Có $underset{xto 0}{mathop{lim }},{{left( 1+2x right)}^{frac{1}{sqrt{1+4x}-1}}}={{e}^{underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{ln (1+2x)}{sqrt{1+4x}-1}}}={{e}^{underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{2x}{frac{1}{2}.4x}}}=e.$

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

1. Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2. Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...

tương đương chương trình Giải tích 1 và Giải tích 2 khối ngành kỹ thuật.