40 bài tập trắc nghiệm tương giao đồ thị hàm số mức độ vận dụng, vận dụng cao

Lời giải chi tiết:

TXĐ : (D = mathbb{R})

(begin{array}{l}d:,,,,,,y = x + m - 1left( C right):,,,,,y = {x^3} + left( {m - 3} right){x^2} + x + 1end{array})

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (left( C right)) là :

(begin{array}{l}x + m - 1 = {x^3} + left( {m - 3} right){x^2} + x + 1,,,,left( 1 right) Leftrightarrow {x^3} + left( {m - 3} right){x^2} - m + 2 = 0 Leftrightarrow left( {{x^3} - {x^2}} right) + left( {m - 2} right){x^2} - left( {m - 2} right)x + left( {m - 2} right)x - left( {m - 2} right) = 0end{array})

(begin{array}{l} Leftrightarrow left( {x - 1} right)left( {{x^2} + left( {m - 2} right)x + m - 2} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1{x^2} + left( {m - 2} right)x + m - 2 = 0,,,,,,left( 2 right)end{array} right.end{array})

Đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (left( C right)) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Do đó, phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 1.

Suy ra :

(left{ begin{array}{l}Delta > 0{1^2} + left( {m - 2} right).1 + m - 2 ne 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{left( {m - 2} right)^2} - 4left( {m - 2} right) > 02m - 3 ne 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}left( {m - 2} right)left( {m - 6} right) > 0m ne dfrac{3}{2}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m > 6left{ begin{array}{l}m < 2m ne dfrac{3}{2}end{array} right.end{array} right.,,,,,left( * right))

Khi đó, phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt ({x_1};,,{x_2}) thỏa mãn (left{ begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m{x_1}.{x_2} = m - 2end{array} right.)

Suy ra (Bleft( {{x_1};,{x_1} + m - 1} right);,,,Cleft( {{x_2};,,{x_2} + m - 1} right))

Ta có:

(begin{array}{l}BC = 2sqrt 3 Leftrightarrow {left( {{x_2} - {x_1}} right)^2} + {left[ {left( {{x_2} + m - 1} right) - left( {{x_1} + m - 1} right)} right]^2} = {left( {2sqrt 3 } right)^2} Leftrightarrow {left( {{x_2} - {x_1}} right)^2} + {left( {{x_2} - {x_1}} right)^2} = 12 Leftrightarrow {left( {{x_2} - {x_1}} right)^2} = 6end{array})

(begin{array}{l} Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 6 Leftrightarrow {left( {2 - m} right)^2} - 4left( {m - 2} right) = 6 Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 - 4m + 8 = 6 Leftrightarrow {m^2} - 8m + 6 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}m = 4 + sqrt {10} m = 4 - sqrt {10} end{array} right.left( {t/m,,,left( * right)} right) Rightarrow S = left{ {4 + sqrt {10} ;4 - sqrt {10} } right}end{array})

Vậy tổng bình phương tất cả các phần tử của tập (S) bằng 52.

Chọn C.