Toán học phổ thông – SGK Trần Thanh Phong : "Học Cái mới – sửa cái sai – Phát huy cái biết"

Thứ tư - 11/02/2026 01:17

Phương pháp tìm tập giá trị của hàm số lớp 10

-o0o-

Phương pháp :

Bước 1 : tìm TXĐ : D
Bước 2 : Dựa vào biểu thức y = f(x), đưa giá trị của hàm số y về dạng : a ≤ y ≤ b
Bước 3 : kết luận tập giá trị của hàm số y = f(x) là : T = [a; b].

Một số bài tập cơ bản :

Bài 1 : tìm tập giá trị của hàm số y = f(x) = 2x + 1

TXĐ : D = R.

Do -∞ ≤ x ≤ +∞ nên : -∞ ≤ 2x +1 ≤ +∞

Hay : -∞ ≤ y ≤ +∞

Vậy : tập giá trị của hàm số T = R.

Bài 2 : tìm tập giá trị của hàm số y = f(x) = x2 - 2x + 5

TXĐ : D = R.

Ta có : y = f(x) = x2 - 2x + 5 = (x - 1)2 + 4

Do : (x - 1)2 ≥ 0

⇔ (x - 1)2 + 4 ≥ 4

Hay : y ≥ 4

Vậy : tập giá trị của hàm số T = [4; +∞)

Bài 3 : tìm tập giá trị của hàm số $y=f(x)=frac{2x-3}{x+1}$

TXĐ : D = R{-1}.

Ta có : $y=f(x)=frac{2x-3}{x+1}$ với x ∈ D.

⇔ y(x+ 1) = 2x - 3

⇔ yx + y = 2x - 3

⇔ (y - 2)x = - 3 - y (*)

Khi y = 2 : 0.x = -5 vô nghiệm.
Khi y ≠ 2 : phương trình (*) vô số nghiệm.

Với x ≠ -1 : (y - 2)( -1) ≠ - 3 - y ⇔ 0.y ≠ 5 (đúng)

nên : y ≠ 2 : phương trình (*) có nghiệm x ∈ D.

vậy : tập giá trị của hàm số T = R{2}.

CÁCH 2 :

Ta có : hàm số $y=f(x)=frac{2x-3}{x+1}=2-frac{5}{x+1}$

Do : $frac{5}{x+1}$ ≠ 0 với x ∈ D.

nên : $y=2-frac{5}{x+1}$ ≠ 2

vậy : tập giá trị của hàm số T = R{2}.

Bài 4 : tìm tập giá trị của hàm số $y=f(x)=frac{x^2+x-1}{x-1}$

TXĐ : D = R{1}.

Ta có : hàm số $y=f(x)=frac{x^2+x - 1}{x-1}$ với x ∈ D

⇔ y(x - 1) = x2 + x - 1

⇔ x2 + (1 - y)x - 1 + y = 0 (*) có nghiệm x ∈ D

Ta có : 𝛥 = (1- y)2 - 4(- 1 + y) = y2 - 6y + 5

Phương trình (*) có nghiệm x ∈ D khi : 𝛥 = y2 - 6y + 5 ≥ 0

⇔ y ≤ 1 hoặc y ≥ 5

Hay : y ∈(-∞ ; 1] ∪ [5; +∞)

vậy : tập giá trị của hàm số T = (-∞ ; 1] ∪ [5; +∞)

Bài 5 : tìm tập giá trị của hàm số y = f(x) = 2sinx - 3

TXĐ : D = R.

Ta có : -1 ≤ sinx ≤ 1 với x ∈ D

⇔ -2 ≤ 2sinx ≤ 2

⇔ -5 ≤ 2sinx - 3 ≤ -1

Hay -5 ≤ y ≤ -1

Vậy : tập giá trị của hàm số T = [-5 ; -1]

Bài 6 : tìm tập giá trị của hàm số $y=f(x)=sqrt{ x + 1} +sqrt{4-x}$

TXĐ : D = [-1 ; 4].

Ta có : hàm số $y=f(x)=sqrt{ x + 1} +sqrt{4-x}$ ≥ 0

Bình phương y : y2 = $2sqrt{ (x + 1)(4-x)}+5$

Do : $sqrt{ (x + 1)(4-x)}$ ≥ 0 => $2sqrt{ (x + 1)(4-x)}+5$ ≥ 5 => y2 ≥ 5

Nên : y ≥ $sqrt{5}$ (1)

Theo định lí cosi : $2sqrt{ (x + 1)(4-x)}$ ≤ (x + 1) + (4 - x) = 5

=> y2 = $2sqrt{ (x + 1)(4-x)}+5$ ≤ 10

Nên : y ≤ $sqrt{10}$ (2)

từ (1) và (2) : $sqrt{5}$ ≤ y ≤ $sqrt{10}$

Vậy : tập giá trị của hàm số T = [ $sqrt{5}$ ; $sqrt{10}$ ]

Phương pháp chung :

trường hợp y = f(x) với mũ cao nhất của biến x là 2 :

Tìm tất cả giá trị của y để phương trình : y = f(x) có nghiệm x ∈ D.

Lưu ý : y là tham số.

thông thường dùng tính chất của bất đẳng thức tìm ra giá trị của hàm số y.

Khánh

Mình là Khánh, người sáng lập nghengu.vn – nơi chia sẻ niềm yêu thích với tiếng Nghệ, tiếng Việt và những phương ngữ đa dạng. Mình mong muốn lan toả vẻ đẹp của tiếng mẹ đẻ đến nhiều người hơn. Nếu thấy nội dung hữu ích, bạn có thể ủng hộ bằng cách donate hoặc mua sản phẩm giáo dục qua các liên kết tiếp thị trong bài viết.

Cảm ơn bạn đã đồng hành!