Cách tính Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên.

Cách tính Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên.

Xét bài toán khoảng cách trong không gian.

Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên $left( SAB right)$.

Dựng $HEbot AB,left( Ein AB right)$ ta có:

$left{ begin{array} {} ABbot SH {} ABbot HE end{array} right.Rightarrow ABbot left( SHE right)$$left( 1 right)$.

Dựng $HFbot SE,left( Fin SE right)$. Từ $left( 1 right)$ $HFbot AB$

Do đó $HFbot left( SAB right)Rightarrow dleft( H;left( SAB right) right)=HF$.

Cách tính: Xét tam giác SHE vuông tại H có đường cao HF ta có: $frac{1}{H{{F}^{2}}}=frac{1}{H{{E}^{2}}}+frac{1}{S{{H}^{2}}}$

Hay $HF=frac{HE.SH}{sqrt{H{{E}^{2}}+S{{H}^{2}}}}$.

Bài tập khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có $AB=a,BC=asqrt{3}$. Biết $SA=2a$ và $SAbot left( ABC right)$.

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBC right)$.

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBM right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có : $ABbot BC$, mặt khác $BCbot SARightarrow BCbot left( SAB right)$.

Dựng $AHbot SBRightarrow $ $left{ begin{array} {} AHbot SB {} AHbot BC end{array} right.Rightarrow AHbot left( SBC right)$.

Khi đó $dleft( A;left( SBC right) right)=AH=frac{SA.AB}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{5}}$.

b) Dựng $AEbot BM,AFbot SE$ ta có:

$left{ begin{array} {} AEbot BM {} AEbot BM end{array} right.Rightarrow BMbot left( SAE right)Rightarrow BMbot text{AF}$.

Khi đó: $left{ begin{array} {} AFbot SE {} AFbot BM end{array} right.Rightarrow AFbot left( SBM right)$.

Ta có: $AB=a,AC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a$. Do BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

$BM=frac{1}{2}AC=AM=AB=aRightarrow Delta ABM$ đều cạnh $a$$Rightarrow AE=frac{asqrt{3}}{2}$.

Khi đó $dleft( A;left( SBM right) right)=frac{AE.SA}{sqrt{A{{E}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=frac{2asqrt{57}}{19}$.

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh $2a$, $SAbot left( ABC right)$. Đường thẳng SB tạo với đáy một góc $60{}^circ $.

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBC right)$.

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SCM right)$, với M là trung điểm của cạnh AB.

Lời giải chi tiết

a) Do $SAbot left( ABC right)Rightarrow widehat{left( SB;left( ABC right) right)}=widehat{SBA}=60{}^circ $.

Do đó $SA=ABtan 60{}^circ =2asqrt{3}$.

Dựng $AEbot BC,Delta ABC$ đều nên $frac{ABsqrt{3}}{2}=asqrt{3}$.

Dựng $AFbot SE$, mặt khác $left{ begin{array} {} BCbot SA {} BCbot AE end{array} right.Rightarrow BCbot text{AF}$.

$Rightarrow AFbot left( SBC right)Rightarrow dleft( A;left( SBC right) right)=AF=frac{SA.AE}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=frac{2asqrt{21}}{7}$.

b) Do M là trung điểm của AB nên $CMbot AB$.

Mặt khác $CMbot SARightarrow CMbot left( SAM right)$. Dựng $AHbot SMRightarrow AHbot left( SMC right)$.

Khi đó $dleft( A;left( SMC right) right)=frac{SA.AM}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{5}}$.

Bài tập 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết $OA=a,OB=b,OC=c$. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng $left( ABC right)$. Lời giải chi tiết

Do $left{ begin{array} {} OCbot OA {} OCbot OB end{array} right.Rightarrow OCbot left( OAB right)Rightarrow ABbot OC$.

Dựng $OEbot AB,OFbot CE$ suy ra $text{OF}bot BC$.

Khi đó $OFbot left( ABC right)Rightarrow dleft( O;left( ABC right) right)=OF$.

Mặt khác: $frac{1}{O{{F}^{2}}}=frac{1}{O{{C}^{2}}}+frac{1}{O{{E}^{2}}}$ và $frac{1}{O{{E}^{2}}}=frac{1}{O{{A}^{2}}}+frac{1}{O{{B}^{2}}}$

Do đó $frac{1}{{{d}^{2}}left( O;left( ABC right) right)}=frac{1}{{{a}^{2}}}+frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}$

Vậy $d=frac{abc}{sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}$.

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho biết $SB=3a,AB=4a,BC=2a$. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $left( SAC right)$.

A. $frac{12asqrt{61}}{61}$ B. $frac{4a}{5}$ C. $frac{12asqrt{29}}{29}$ D. $frac{3asqrt{14}}{14}$

Lời giải chi tiết

Ta có: BS, BA, BC đôi một vuông góc với nhau nên ta có:

$frac{1}{{{d}^{2}}left( B;left( SAC right) right)}=frac{1}{S{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{C}^{2}}}=frac{1}{9{{a}^{2}}}+frac{1}{16{{a}^{2}}}+frac{1}{4{{a}^{2}}}=frac{61}{144{{a}^{2}}}$

Do đó $dleft( B;left( SAC right) right)=frac{12asqrt{61}}{61}$. Chọn A.

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và $AB=a,BC=asqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AC. Biết $SH=a$, tính khoảng cách từ H đến các mặt phẳng $left( SAB right)$ và $left( SAC right)$. Lời giải chi tiết

Dựng $HEbot AB$ và $HFbot SE$ thì ta có $dleft( H;left( SAB right) right)=HF$.

Mặt khác HE là đường trung bình trong tam giác ABC nên $HE=frac{BC}{2}=frac{asqrt{3}}{2}$.

Khi đó $dleft( H;left( SAB right) right)=HF=frac{HE.SH}{sqrt{H{{E}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{asqrt{21}}{7}$.

Tương tự dựng $HMbot BC,HNbot SMRightarrow dleft( H;left( SBC right) right)=HN$

Mặt khác $HM=frac{AB}{2}=frac{a}{2}Rightarrow HN=frac{SH.HM}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=frac{a}{sqrt{5}}$.

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=a,AD=2a$, SA vuông góc với đáy và $SA=a$.

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SCD right)$ và $left( SBC right)$.

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBD right)$.

Lời giải chi tiết

a) Dựng $ANbot SB$. Do $left{ begin{array} {} BCbot SA {} BCbot AB end{array} right.Rightarrow BCbot AN$.

$ANbot left( SBC right)Rightarrow dleft( A;left( SBC right) right)=AN=frac{SA.AB}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}$

Vậy $left( A;left( SBC right) right)=frac{asqrt{2}}{2}$.

Tương tự $dleft( A;left( SCD right) right)=AM=frac{SA.AD}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{5}}$.

b) Dựng $AEbot BD,text{AF}bot SE$.

Ta chứng minh được $dleft( A;left( SBD right) right)=d=AF$

Vì $ASbot ABbot ADRightarrow frac{1}{{{d}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{A{{D}^{2}}}+frac{1}{S{{A}^{2}}}Rightarrow d=frac{2a}{3}$.

Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $2a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm H của AB. Biết $SD=3a$.

a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng $left( SCD right)$.

b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng $left( SBD right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $HD=sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=asqrt{5}$

Mặt khác $SH=sqrt{S{{D}^{2}}-D{{H}^{2}}}=2a$.

Dựng $HMbot CD,HNbot SMRightarrow dleft( H;left( SCD right) right)=HN$.

Do AHMD là hình chữ nhật nên $AD=HM=2a$.

Khi đó $dleft( H;left( SCD right) right)=frac{SH.HM}{sqrt{S{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=asqrt{2}$.

b) Dựng $HEbot BD;HFbot SE$ khi đó $dleft( H;left( SBD right) right)=HF$

Ta có: $AC=2asqrt{2}Rightarrow OA=asqrt{2}Rightarrow HE=frac{OA}{2}=frac{asqrt{2}}{2}$

Do đó $frac{1}{H{{F}^{2}}}=frac{1}{S{{H}^{2}}}+frac{1}{H{{E}^{2}}}Rightarrow HF=frac{2a}{3}Rightarrow dleft( H;left( SBD right) right)=HF=frac{2a}{3}$.

Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có tam giác ABC đều cạnh $a$. Gọi H là trung điểm của AB. Biết SH vuông góc với mặt đáy, mặt phẳng $left( SCD right)$ tạo với đáy một góc $60{}^circ $. Tính

a) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng $left( SCD right)$.

b) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng $left( SBC right)$.

Lời giải chi tiết

a) Do $Delta ABC$ đều nên $CHbot ABRightarrow CHbot CD$

$CHbot left( SHC right)Rightarrow widehat{SCH}=60{}^circ ,CH=frac{asqrt{3}}{2}$.

Ta có: $SH=CHtan 60{}^circ =frac{3a}{2}$.

$HKbot BC,HK=frac{asqrt{3}}{4};HFbot SKRightarrow HFbot left( SBC right)$

Mặt khác: $HF=frac{HK.SH}{sqrt{H{{K}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{sqrt{42}a}{14}$.

Khi đó $dleft( H;left( SBC right) right)=frac{asqrt{42}}{14}$

b) Dựng $HEbot SC$ ta có: $HEbot left( SCD right)$.

Ta có: $HE=frac{HC.SH}{sqrt{H{{C}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{3a}{4}Rightarrow dleft( H;left( SCD right) right)=HE=frac{3a}{4}$.

Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có $AB=BC=frac{AD}{2}$. Mặt phẳng $left( SAB right)$ và $left( SAD right)$ cùng vuông góc với mặt đáy. Biết $SA=2a$ và đường thẳng SD tạo với mặt phẳng $left( SAC right)$ một góc $30{}^circ $. tính

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SCD right)$.

b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( SBC right)$.

Lời giải chi tiết

a) Do $left{ begin{array} {} left( SAB right)bot left( ABCD right) {} left( SAD right)bot left( ABCD right) end{array} right.Rightarrow SAbot left( ABCD right)$.

Đặt $AB=BC=frac{AD}{2}=x$, gọi E là trung điểm của AC ta có: $CE=AB=frac{1}{2}AD$ $Rightarrow Delta ACD$ vuông tại C (tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền trong tam giác vuông).

+) Khi đó ta có: $SC=sqrt{2{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}},CD=xsqrt{2}$.

+) Mặt khác: $left{ begin{array} {} CDbot SA {} CDbot AC end{array} right.Rightarrow CDbot left( SAC right)$.

Do đó $widehat{left( SD;left( SAC right) right)}=widehat{DSC}=30{}^circ Rightarrow tan 30{}^circ =frac{DC}{SC}Rightarrow frac{xsqrt{2}}{sqrt{2{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=frac{1}{sqrt{3}}Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=4{{a}^{2}}Leftrightarrow x=a$.

Dựng $AKbot SCRightarrow AKbot left( SCD right)Rightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=AK=frac{SA.AC}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{3}}$.

b) Dựng $AHbot SB$, ta có: $left{ begin{array} {} BCbot SA {} BCbot AB end{array} right.Rightarrow BCbot AH$.

Mặt khác: $AHbot SBRightarrow AHbot left( SBC right)$.

Do đó $AH=frac{AB.SA}{sqrt{A{{B}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{5}}Rightarrow dleft( A;left( SBC right) right)=AH=frac{2a}{sqrt{5}}$.

Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết $SA=asqrt{2}$ và SB tạo với đáy một góc $30{}^circ $. Gọi H là trung điểm của AD. Tính các khoảng cách sau:

a) $dleft( H;left( SBC right) right)$

b) $dleft( H;left( SAC right) right)$

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là trung điểm của AD ta có: $SHbot AD$

Lại có: $left( SAD right)bot left( ABCD right)Rightarrow SHbot left( ABCD right)$.

Mặt khác: $AD=SAsqrt{2}=2aRightarrow SH=frac{1}{2}AD=a$.

$widehat{SBH}=30{}^circ Rightarrow HBtan 30{}^circ =SH=aRightarrow HB=asqrt{3}$

Khi đó: $AB=sqrt{H{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=asqrt{2}$

Dựng $left{ begin{array} {} HEbot BC {} HEbot SE end{array} right.$ ta có: $BCbot HF$ từ đó suy ra $HFbot left( SBC right)Rightarrow dleft( H;left( SBC right) right)=HF$.

Ta có: $frac{1}{H{{F}^{2}}}=frac{1}{S{{H}^{2}}}+frac{1}{H{{E}^{2}}}Rightarrow HF=frac{asqrt{6}}{3}=dleft( H;left( SBC right) right)$.

b) Dựng $HNbot ACRightarrow ACbot left( SHN right)$, dựng $HIbot SNRightarrow HIbot left( SAC right)$

Dựng $DMbot ACRightarrow DM=frac{2asqrt{2}}{sqrt{6}}Rightarrow HN=frac{a}{sqrt{3}}Rightarrow HI=frac{HN.SH}{sqrt{H{{N}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=frac{a}{2}$.

Do đó $dleft( H;left( SAC right) right)=HI=frac{a}{2}$

Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân $left( AD//BC right)$ có $AB=BC=CD=a,AD=2a$, SA vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng $left( SCD right)$ tạo với mặt phẳng $left( ABCD right)$ một góc $60{}^circ $. Tính cách các khoảng cách sau:

a) $dleft( A;left( SCD right) right)$

b) $dleft( A;left( SBC right) right)$

Lời giải chi tiết

a) Gọi O là trung điểm của cạnh AD ta có tứ giác ABCO là hình bình hành $Rightarrow AB=CO=a=frac{1}{2}AD$ do đó $widehat{ACD}=90{}^circ Rightarrow ACbot CD$ mà $SAbot CD$ nên $left( SAC right)bot CDRightarrow widehat{SCA}=60{}^circ $.

+) Ta có: $AC=sqrt{A{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=asqrt{3}$ suy ra $SA=ACtan 60{}^circ =3a$

+) Dựng $AEbot SC,AEbot CDRightarrow AEbot left( SCD right)$.

+) Khi đó $dleft( B;SCD right)=dleft( O;SCD right)=frac{1}{2}dleft( A;left( SCD right) right)$.

+) Ta có: $AE=frac{SA.AC}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{3a}{2}Rightarrow dleft( A;left( SCD right) right)=AE=frac{3a}{2}$.

b) Dựng $AKbot BC,AHbot SKRightarrow AHbot left( SBC right)$

+) Ta có: $dleft( A;left( SBC right) right)=AH$.

+) Mặt khác: $AK=dleft( C;AD right)=frac{AC.CD}{sqrt{A{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}}=frac{asqrt{3}}{2}Rightarrow AH=frac{AK.SA}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=frac{3a}{sqrt{13}}$

Do đó $dleft( A;left( SBC right) right)=AH=frac{3a}{sqrt{13}}$.

Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$có đáy là tam giác đều cạnh $a$, gọi I là trung điểm cạnh BC, đường thẳng A’C tạo với đáy một góc $60{}^circ $.

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( A'BC right)$.

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa A’I và song song với AC.

Lời giải chi tiết

a) Do $AA'bot left( ABC right)Rightarrow widehat{left( A'C;left( ABC right) right)}=widehat{A'CA}$.

Ta có: $widehat{A'CA}=60{}^circ Rightarrow AA'=ACtan 60{}^circ =asqrt{3}$

Dựng $AIbot BCRightarrow BCbot left( A'AI right)$ và $AI=frac{asqrt{3}}{2}$

Dựng $AHbot A'IRightarrow dleft( A;left( A'BC right) right)=AH$

Ta có: $AH=frac{AI.AA'}{sqrt{A{{I}^{2}}+AA{{'}^{2}}}}=frac{asqrt{15}}{5}$

Vậy $dleft( A;left( A'BC right) right)=AH=frac{asqrt{15}}{5}$

b) Dựng $Ix//ACRightarrow left( alpha right)equiv left( A'Ix right)$

Khi đó: $dleft( A;left( alpha right) right)=dleft( A;left( A'Ix right) right)$, Ix cắt AB tại trung điểm M và AB.

Dựng $AKbot Ix,AEbot A'K$

Do $IM//ACRightarrow widehat{AMK}=widehat{MAC}=60{}^circ $ suy ra $AK=AMsin widehat{AMK}=frac{a}{2}sin 60{}^circ =frac{asqrt{3}}{4}$

Ta có: $dleft( A;left( A'IK right) right)=AE=frac{AK.A'A}{sqrt{A{{K}^{2}}+A'{{A}^{2}}}}=frac{asqrt{51}}{17}$

Bài tập 13: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$có đáy là tam giác vuông cân tại A với $AB=AC=3a$. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho $HC=2HB$. Biết cạnh bên của lăng trụ bằng $2a$.

a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng $left( B'AC right)$.

b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng $left( BAA'B' right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: BC=sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=3asqrt{2}Rightarrow HB=asqrt{2}$

Lại có $B'H=sqrt{BB{{'}^{2}}-H{{B}^{2}}}=asqrt{2}$

Dựng $HEbot AC,HFbot B'ERightarrow HFbot left( B'AC right)$

Áp dụng định lý Talet trong tam giác BAC ta có:

$frac{HE}{AB}=frac{CH}{BC}=frac{2}{3}Rightarrow HE=2aRightarrow HF=frac{HE.B'H}{sqrt{H{{E}^{2}}+B'{{H}^{2}}}}=frac{2a}{sqrt{3}}$

Do có: $dleft( H;left( B'AC right) right)=HF=frac{2a}{sqrt{3}}$

b) Dựng $HMbot AB,HNbot B'M$

Khi đó $dleft( H;left( B'BA right) right)=HN$.

Ta có: $HM=frac{AC}{3}=aRightarrow HN=frac{HB'.HM}{sqrt{HB{{'}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=frac{asqrt{6}}{3}$.