Lí thuyết tích phân

1. Khái niệm và tính chất

a. Định nghĩa

Cho hàm số (f(x)) liên tục trên đoạn ([a;b]). Giả sử (F(x) ) là một nguyên hàm của hàm số (f(x)) trên đoạn ([a;b]), hiệu số (F(b) - F(a)) được gọi là tích phân từ (a) đến (b) (hay tích phân xác định trên đoạn ([a;b]) của hàm số (f(x)).

Kí hiệu là : (int_a^b f (x)dx)

Vậy ta có :(int_a^b f (x)dx = F(b) - F(a) = F(x)|_a^b)

Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa: (int_a^a f (x)dx = 0)

Trường hợp a>b, ta định nghĩa: (int_a^b f (x)dx = - int_b^a f (x)dx)

Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :

(int_a^b f (x)dx = int_a^b f (t)dt = int_a^b f (u)du = ...) (vì đều bằng (F(b) - F(a)))

b. Tính chất của tích phân

(int_a^b k f(x)dx = kint_a^b f (x)dx) ( với (k) là hằng số)

(int_a^b {left[ {fleft( x right) pm gleft( x right)} right]} d{rm{x}} = int_a^b {fleft( x right)} d{rm{x}} pm int_a^b {gleft( x right)} d{rm{x}})

(int_a^b f (x)dx = int_a^c f (x))dx + int_c^b f (x)dx) (với (a<b<c))

2. Phương pháp tinh tích phân

a. Phương pháp đổi biến số

Định lí. Cho hàm số (f(x)) liên tục trên ([a;b]). Giả sử hàm số (x = varphi left( t right)) có đạo hàm liên tục trên đoạn ([α;β]) sao cho (varphi left( alpha right) = a,varphi left( beta right) = b) và (a le varphi left( t right) le b,forall t in left[ {alpha ;beta } right]). Khi đó:

(int_a^b f (x)dx = int_alpha ^beta f (varphi left( t right)) varphi '(t)dt)

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a;b]. Nếu f(x) =g[u(x)].u’(x) ∀ x∈ [a;b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α;β] thì:

(int_a^b f (x)dx = int_{u(a)}^{u(b)} g (u)du)

b. Phương pháp tính tích phân từng phần

Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], thì :

(int_a^b u (x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]|_a^b - int_a^b {u'} (x)v(x)dx)

hay (int_a^b u dv = uv|_a^b - int_a^b v du)

3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).

Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì : (int_a^b f (x)dx ge 0)

Từ đó ta có:

Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a;b] thì

(int_a^b g (x)dx le int_a^b f (x)dx)

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).

Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a;b] thì

(m(b - a) le int_a^b f (x)dx le M(b - a))

Loigiaihay.com