Tìm tập xác định của hàm số

Bài viết hướng dẫn phương pháp tìm tập xác định của hàm số, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Đại số 10 chương 2, nội dung bài viết gồm 3 phần: lý thuyết cần nắm vững, ví dụ minh họa và các bài tập tự luyện.

1. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG Tập xác định của hàm số $y=fleft( x right)$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức $fleft( x right)$ có nghĩa. Nếu $P(x)$ là một đa thức thì: • $frac{1}{P(x)}$ có nghĩa $Leftrightarrow P(x)ne 0.$ • $sqrt{P(x)}$ có nghĩa $Leftrightarrow P(x)ge 0.$ • $frac{1}{sqrt{P(x)}}$ có nghĩa $Leftrightarrow P(x)>0.$

2. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) $y=frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+3x-4}.$ b) $y=frac{x+1}{left( x+1 right)left( {{x}^{2}}+3x+4 right)}.$ c) $y=frac{2{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2}.$ d) $y=frac{x}{{{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{2}}-2{{x}^{2}}}.$

a) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+3x-4ne 0$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xne 1 xne -4 end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là $text{D}=mathbb{R}backslash left{ 1;-4 right}.$ b) Điều kiện xác định: $left( x+1 right)left( {{x}^{2}}+3x+4 right)ne 0$ $Leftrightarrow xne -1.$ Suy ra tập xác định của hàm số là $text{D}=mathbb{R}backslash left{ -1 right}.$ c) Điều kiện xác định: ${{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2ne 0$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xne 2 xne frac{-3pm sqrt{5}}{2} end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là $text{D}=mathbb{R}backslash left{ 2;frac{-3-sqrt{5}}{2};frac{-3+sqrt{5}}{2} right}.$ d) Điều kiện xác định: ${{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{2}}-2{{x}^{2}}ne 0$ $Leftrightarrow left( {{x}^{2}}-sqrt{2}x-1 right)left( {{x}^{2}}+sqrt{2}x-1 right)ne 0$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{x}^{2}}-sqrt{2}x-1ne 0 {{x}^{2}}+sqrt{2}x-1ne 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xne frac{sqrt{2}pm sqrt{7}}{2} xne frac{-sqrt{2}pm sqrt{7}}{2} end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=mathbb{R}backslash left{ frac{sqrt{2}-sqrt{7}}{2};frac{sqrt{2}+sqrt{7}}{2};frac{-sqrt{2}-sqrt{7}}{2};frac{-sqrt{2}+sqrt{7}}{2} right}.$

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) $y=frac{x+1}{(x-3)sqrt{2x-1}}.$ b) $y=frac{sqrt{x+2}}{xsqrt{{{x}^{2}}-4x+4}}.$ c) $y=frac{sqrt{5-3left| x right|}}{{{x}^{2}}+4x+3}.$ d) $y=frac{x+4}{sqrt{{{x}^{2}}-16}}.$

a) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} xne 3 2x-1>0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xne 3 x>frac{1}{2} end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left( frac{1}{2};+infty right)backslash left{ 3 right}.$ b) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} xne 0 begin{align} & {{x}^{2}}-4x+4>0 & x+2ge 0 end{align} end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xne 0 begin{align} & {{left( x-2 right)}^{2}}>0 & xge -2 end{align} end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xne 0 begin{align} & xne 2 & xge -2 end{align} end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left[ -2;+infty right)backslash left{ 0;2 right}.$ c) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} 5-3left| x right|ge 0 {{x}^{2}}+4x+3ne 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} left| x right|le frac{5}{3} left{ begin{matrix} xne -1 xne -3 end{matrix} right. end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align} & -frac{5}{3}le xle frac{5}{3} & xne -1 & xne -3 end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align} & -frac{5}{3}le xle frac{5}{3} & xne -1 end{align} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left[ -frac{5}{3};frac{5}{3} right]backslash left{ -1 right}.$ d) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}-16>0$ $Leftrightarrow left| x right|>4$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} x>4 x<-4 end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left( -infty ;-4 right)cup left( 4;+infty right).$

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) $y=frac{sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}}{{{x}^{2}}+2x+3}.$ b) $y=frac{x}{x-sqrt{x}-6}.$ c) $y=sqrt{x+2}-sqrt{x+3}.$ d) $y=left{ begin{align} & frac{1}{x}quad khi xge 1 & sqrt{x+1}quad khi x<1 end{align} right.$

a) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+2x+3ne 0$ đúng với mọi $x.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=mathbb{R}.$ b) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} xge 0 x-sqrt{x}-6ne 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} begin{align} & xge 0 & sqrt{x}ne -2 end{align} sqrt{x}ne 3 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xge 0 xne 9 end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left[ 0;+infty right)backslash left{ 9 right}.$ c) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} x+2ge 0 x+3ge 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xge -2 xge -3 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow xge -2.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left[ -2;+infty right).$ d) Khi $xge 1$ thì hàm số là $y=frac{1}{x}$ luôn xác định với $xge 1.$ Khi $x<1$ thì hàm số là $y=sqrt{x+1}$ xác định khi $left{ begin{matrix} x<1 x+1ge 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} x<1 xge -1 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow -1le x<1.$ Do đó hàm số đã cho xác định khi $xge -1.$ Suy ra tập xác định của hàm số là $text{D}=left[ -1;+infty right).$ [ads] Ví dụ 4. Cho hàm số $y=frac{mx}{sqrt{x-m+2}-1}$ với $m$ là tham số. a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số $m.$ b) Tìm $m$ để hàm số xác định trên $left( 0;1 right).$

a) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} x-m+2ge 0 sqrt{x-m+2}ne 1 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xge m-2 xne m-1 end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left[ m-2;+infty right)backslash left{ m-1 right}.$ b) Hàm số xác định trên $left( 0;1 right)$ khi và chỉ khi $left( 0;1 right)subset left[ m-2;m-1 right)cup left( m-1;+infty right)$ $⇔ left[ begin{matrix} left( 0;1 right)subset left[ m-2;m-1 right) left( 0;1 right)subset left( m-1;+infty right) end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=2 m-1le 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} m=2 mle 1 end{matrix} right.$ Vậy $min left( -infty ;1 right]cup left{ 2 right}$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 5. Cho hàm số $y=sqrt{2x-3m+4}+frac{x}{x+m-1}$ với $m$ là tham số. a) Tìm tập xác định của hàm số khi $m=1.$ b) Tìm $m$ để hàm số có tập xác định là $left[ 0;+infty right).$

Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} 2x-3m+4ge 0 x+m-1ne 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xge frac{3m-4}{2} xne 1-m end{matrix} right.$ a) Khi $m=1$, ta có điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} xge -frac{1}{2} xne 0 end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là $text{D}=left[ -frac{1}{2};+infty right)backslash left{ 0 right}.$ b) Với $1-mge frac{3m-4}{2}$ $Leftrightarrow mle frac{6}{5}$ khi đó tập xác định của hàm số là: $text{D}=left[ frac{3m-4}{2};+infty right)backslash left{ 1-m right}$, do đó $mle frac{6}{5}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với $m>frac{6}{5}$ khi đó tập xác định của hàm số là $text{D}=left[ frac{3m-4}{2};+infty right).$ Do đó hàm số có tập xác định là $left[ 0;+infty right)$ khi và chỉ khi $frac{3m-4}{2}=0$ $Leftrightarrow m=frac{4}{3}$ (thỏa mãn). Vậy $m=frac{4}{3}$ là giá trị cần tìm.

3. BÀI TẬP RÈN LUYỆN a. Đề bài Bài toán 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) $y=frac{2sqrt{x-1}}{left| x right|-2}.$ b) $y=sqrt{x+2}-frac{2}{sqrt{x-1}}.$ c) $y=frac{sqrt[3]{x-1}}{{{x}^{2}}+x+1}.$ d) $y=x+sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}.$ e) $y=frac{sqrt[{}]{x+1}}{{{x}^{2}}-x-6}.$ f) $y=f(x)=left{ begin{align} & frac{1}{2-x}quad khi xge 1 & sqrt{2-x}quad khi x<1 end{align} right.$

Bài toán 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) $y=sqrt{6-3x}-sqrt{x-1}.$ b) $y=frac{sqrt{2-x}+sqrt{x+2}}{x}.$ c) $y=frac{sqrt{3x-2}+6x}{sqrt{4-3x}}.$ d) $y=sqrt{6-x}+frac{2x+1}{1+sqrt{x-1}}.$ e) $y=frac{2x+9}{left( x+4 right)sqrt{x+3}}.$ f) $y=frac{sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}}{x-3sqrt{x}+2}.$ g) $f(x)=frac{1}{sqrt{1-sqrt{1+4x}}}.$ h) $y=frac{2{{x}^{2}}}{sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}}.$

Bài toán 3. Tìm giá trị của tham số $m$ để: a) Hàm số $y=frac{x+2m+2}{x-m}$ xác định trên $left( -1;0 right).$ b) Hàm số $y=frac{sqrt{x}}{sqrt{x-m}+1}$ có tập xác định là $left[ 0;+infty right).$

Bài toán 4. Tìm giá trị của tham số $m$ để: a) Hàm số $y=sqrt{x-m+1}+frac{2x}{sqrt{-x+2m}}$ xác định trên $left( -1;3 right).$ b) Hàm số $y=sqrt{x+m}+sqrt{2x-m+1}$ xác định trên $left( 0;+infty right).$ c) Hàm số $y=sqrt{-x-2m+6}-frac{1}{sqrt{x+m}}$ xác định trên $left( -1;0 right).$

b. Hướng dẫn giải và đáp số Bài toán 1. a) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} xge 1 left| x right|ne 2 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xge 1 xne pm 2 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xge 1 xne 2 end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=left[ 1;+infty right)backslash left{ 2 right}.$ b) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} x+2ge 0 x-1>0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xge -2 x>1 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow x>1.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=left( 1;+infty right).$ c) Điều kiện xác định: ${{x}^{2}}+x+1ne 0$ $Leftrightarrow {{left( x+frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{3}{4}ne 0$ (luôn đúng $forall x$). Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R}.$ d) Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}.$ e) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} x+1ge 0 {{x}^{2}}-x-6ne 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xge -1 begin{align} & xne -2 & xne 3 end{align} end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xge -1 xne 3 end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=left[ -1;+infty right)backslash left{ 3 right}.$ f) Tập xác định của hàm số: $text{D}=mathbb{R}backslash left{ 2 right}.$

Bài toán 2. a) $D=left[ 1;2 right].$ b) $text{D}=left[ -2;2 right]backslash left{ 0 right}.$ c) $D=left[ frac{2}{3};frac{4}{3} right).$ d) $D=left[ 1;6 right].$ e) $text{D}=left( -3;+infty right).$ f) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} {{x}^{2}}-2x+3ge 0 x-3sqrt{x}+2ne 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{left( x-1 right)}^{2}}+2ge 0 left( sqrt{x}-1 right)left( sqrt{x}-2 right)ne 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} xne 1 xne 4 end{matrix} right.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=mathbb{R}backslash left{ 1;4 right}.$ g) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} 1-sqrt{1+4x}>0 1+4xge 0 end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix} 1>1+4text{x} xge -frac{1}{4} end{matrix} right.$ $Leftrightarrow -frac{1}{4}le x<0.$ Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=left[ -frac{1}{4};0 right).$ h) Tập xác định của hàm số: $text{D}=left( -infty ;1 right)cup left( 2;+infty right)$

Bài toán 3. a) Điều kiện xác định: $xne m.$ Hàm số xác định trên $left( -1;0 right)$ khi và chỉ khi $mnotin left( -1;0 right)$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix} mge 0 mle -1 end{matrix} right.$ b) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix} xge 0 xge m end{matrix} right.$ Nếu $m>0$ thì $left{ begin{matrix} xge 0 xge m end{matrix} right.$ $Leftrightarrow xge m$, suy ra tập xác định của hàm số là $D=left[ m;+infty right)$ nên $m>0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nếu $mle 0$ thì $left{ begin{matrix} xge 0 xge m end{matrix} right.$ $Leftrightarrow xge 0$, suy ra tập xác định của hàm số là $D=left[ 0;+infty right).$ Vậy $mle 0$ là giá trị cần tìm.

Bài toán 4. a) $mge 2.$ b) $min left[ 0;1 right].$ c) $min left[ 1;3 right].$