Giải bài tập nguyên hàm chứa căn thức

Bài tập nguyên hàm chứa căn thức là dạng toán thường gây khó khăn cho học sinh do yêu cầu phải biến đổi biểu thức phù hợp trước khi áp dụng công thức. Việc nhận dạng đúng dạng căn thức, lựa chọn phép đổi biến hợp lý và vận dụng linh hoạt các công thức nguyên hàm sẽ giúp quá trình giải bài trở nên đơn giản hơn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng phân tích các dạng bài tập nguyên hàm chứa căn thức thường gặp, kèm theo phương pháp giải và ví dụ minh họa chi tiết để bạn nắm vững cách làm và tránh những sai lầm phổ biến.

1. Công thức nguyên hàm chứa căn thức

2. Bài tập

Bài tập 1. Tìm các nguyên hàm sau:

a) $displaystyle int frac{1}{sqrt{2x+1}+sqrt{2x-1}}dx$

b) $displaystyle int frac{x}{sqrt{x^2+1-x}}dx$

Lời Giải

a) Ta có: $int {frac{{dx}}{{sqrt {2x + 1} + sqrt {2x - 1} }}} $ $ = int {frac{{sqrt {2x + 1} - sqrt {2x - 1} }}{{(2x + 1) - (2x - 1)}}} dx$ $ = frac{1}{2}int {left[ {{{(2x + 1)}^{frac{1}{2}}} - {{(2x - 1)}^{frac{1}{2}}}} right]} dx$ $ = frac{1}{6}left[ {{{(2x + 1)}^{frac{3}{2}}} - {{(2x - 1)}^{frac{3}{2}}}} right] + C$

b) Ta có: $int {frac{{xdx}}{{sqrt {{x^2} + 1 - x} }}} $ $ = int {frac{{x(sqrt {{x^2} + 1} + x)dx}}{{{x^2} + 1 - {x^2}}}} $ $ = int x sqrt {{x^2} + 1} dx + int {{x^2}} dx$ $ = frac{1}{2}int {{{({x^2} + 1)}^{frac{1}{2}}}} d({x^2} + 1) + int {{x^2}} dx$ $ = frac{1}{3}{({x^2} + 1)^{frac{3}{2}}} + frac{1}{3}{x^3} + C$

Bài tập 2. Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

a) $int xsqrt[4]{1-x^2}dx$

b) $int frac{1}{xsqrt{x+1}}dx$

c) $int x^3sqrt{x^2+9}dx$

Lời Giải

a) Xét $int xsqrt[4]{1-x^2}dx$.

Đặt $t=sqrt[4]{1-x^2}Rightarrow t^4=1-x^2$, suy ra $4t^3dt=-2xdx Rightarrow -2t^3dt=xdx$.

Khi đó $int x sqrt[4]{{1 - {x^2}}}dx$ $ = - 2int {{t^4}} dt$ $ = - frac{{2{t^5}}}{5} + C$ $ = - frac{{2(1 - {x^2})sqrt[4]{{1 - {x^2}}}}}{5} + C$

b) Xét $int frac{1}{xsqrt{x+1}}dx$.

Đặt $t=sqrt{x+1}Rightarrow t^2=x+1$. Suy ra

$begin{cases} 2tdt=dx x=t^2-1 end{cases}$

Khi đó $int {frac{1}{{xsqrt {x + 1} }}} dx$ $ = int {frac{{2t}}{{({t^2} - 1)t}}} dt$ $ = int {frac{2}{{{t^2} - 1}}} dt$ $ = int {left( {frac{1}{{t - 1}} - frac{1}{{t + 1}}} right)} dt$ $ = ln left| {frac{{t - 1}}{{t + 1}}} right| + C$ $ = ln left| {frac{{sqrt {x + 1} - 1}}{{sqrt {x + 1} + 1}}} right| + C$

c) Xét $int x^3sqrt{x^2+9}dx=int x^2sqrt{x^2+9}xdx$.

Đặt $t=sqrt{x^2+9}Rightarrow t^2=x^2+9$. Suy ra $begin{cases} tdt=xdx x^2=t^2-9 end{cases}$

Khi đó $int {{x^2}} sqrt {{x^2} + 9} xdx$ $ = int {({t^2} - 9)} tdt$ $ = int {({t^4} - 9{t^2})} dt$ $ = frac{{{t^5}}}{5} - 3{t^3} + C$

Như vậy $int {{x^3}} sqrt {{x^2} + 9} dx$ $ = frac{{{{(sqrt {{x^2} + 9} )}^5}}}{5} - 3{(sqrt {{x^2} + 9} )^3} + C$

Bài tập 3. Tìm các nguyên hàm sau (với $a>0$):

a) $I=int frac{x^2}{sqrt{4-x^2}}dx$

b) $I=int frac{x^3}{sqrt{1-x^2}}dx$

Lời Giải

a) $I=int frac{x^2}{sqrt{4-x^2}}dx$. Đặt $x=2cos t$ với $tin[0;pi]$, $dx=-2sin tdt$.

$ Rightarrow I = int {frac{{{x^2}}}{{sqrt {4 - {x^2}} }}} dx$ $ = - int {frac{{4{{cos }^2}t cdot 2sin tdt}}{{sqrt {4(1 - {{cos }^2}t)} }}} $ $ = - int {frac{{4{{cos }^2}t cdot 2sin tdt}}{{2sin t}}} $ $ = - int 2 {cos ^2}tdt$ $ = - 2int {(1 + cos 2t)} dt$ $ = - 2t - sin 2t + C$

Ta có: $x=2cos t$ với $tin[0;pi]Rightarrow sin t>0$. Nên

$sin 2t=2sin tcos t=2sqrt{1-frac{x^2}{4}}cdotfrac{x}{2}=frac{xsqrt{4-x^2}}{2}$.

Vậy $I = int {frac{{{x^2}}}{{sqrt {4 - {x^2}} }}} dx$ $ = - 2arccos left( {frac{x}{2}} right) - frac{{xsqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C$

b) $I=int frac{x^3}{sqrt{1-x^2}}dx$. Đặt $x=sin tRightarrow dx=cos tdt$ với $-frac{pi}{2}le tlefrac{pi}{2}Rightarrow cos tge0Rightarrow cos t=sqrt{1-x^2}$.

$ Rightarrow I = int {frac{{{x^3}}}{{sqrt {1 - {x^2}} }}} dx$ $ = int {frac{{{{sin }^3}t cdot cos t}}{{cos t}}} dt$ $ = int {{{sin }^3}} tdt$ $ = int {({{sin }^2}t cdot sin t)} dt$ $ = - int {(1 - {{cos }^2}t)} d(cos t)$ $ = - cos t + frac{{{{cos }^3}t}}{3} + C$

Vậy $I = int {frac{{{x^3}}}{{sqrt {1 - {x^2}} }}} dx$ $ = - sqrt {1 - {x^2}} + frac{{(1 - {x^2})sqrt {1 - {x^2}} }}{3} + C$

có thể giải bằng cách đặt $t = sqrt {1 - {x^2}} $

Bài tập 4. Tìm họ nguyên hàm của $int f(x)$. Biết:

a) $f(x)=frac{1}{sqrt{(1-x^2)^3}}$

b) $f(x)=frac{1}{sqrt{(1+x^2)^3}}$

c) $I=int frac{dx}{(4-x^2)sqrt{4-x^2}}$

Lời Giải

a) $int frac{dx}{sqrt{(1-x^2)^3}}$. Đặt $x=cos t$, $0<t<piRightarrow dx=-sin tdt$.

Khi đó: $int f (x)dx$ $ = - int {frac{{sin tdt}}{{{{sin }^3}t}}} $ $ = - int {frac{{dt}}{{{{sin }^2}t}}} $ $ = int d (cot t)$ $ = cot t + C$ $ = frac{x}{{sqrt {1 - {x^2}} }} + C$

Vậy $int {frac{{dx}}{{sqrt {{{(1 - {x^2})}^3}} }}} = frac{x}{{sqrt {1 - {x^2}} }} + C$

b) $int frac{dx}{sqrt{(1+x^2)^3}}$. Đặt $x=tan t$, $-frac{pi}{2}<t<frac{pi}{2}Rightarrow cos t>0$, $dx=frac{dt}{cos^2 t}$.

$I = int {frac{{dx}}{{sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} }}} $ $ = int {frac{{dt}}{{{{cos }^2}tsqrt {{{left( {frac{1}{{{{cos }^2}t}}} right)}^3}} }}} $ $ = int {cos } tdt = sin t + C$

c) $I=int frac{dx}{(4-x^2)sqrt{4-x^2}}$. Đặt $x=2sin t$, $-frac{pi}{2}le tlefrac{pi}{2}$, $dx=2cos tdt$.

Vậy $I = int {frac{{2cos tdt}}{{(4 - 4{{sin }^2}t)sqrt {4 - 4{{sin }^2}t} }}} $ $ = int {frac{{2cos tdt}}{{4{{cos }^2}t cdot sqrt {4{{cos }^2}t} }}} $ $ = int {frac{{dt}}{{4{{cos }^2}t}}} $ $ = frac{1}{4}tan t$ $ = frac{1}{4}tan left( {arcsin frac{x}{2}} right) + C$